Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0 ,где x - переменная, a,b,c – константы; a<>0 . Задача состоит в отыскании корней уравнения.
Геометрический смысл квадратного уравнения
Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения - это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х)
. Из этого следует, что есть три возможных случая:
1)
парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).
2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох . Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).
3) Последний случай на практике интересный больше - существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.
На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.
1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный - ветки параболы направлены вниз.
2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение - то в правой.
Вывод формулы для решения квадратного уравнения
Перенесем константу с квадратного уравнения 
за знак равенства, получим выражение
Умножим обе части на 4а
Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование
Отсюда находим
Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения
Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формуле
При нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0
При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле
Теорема Виета
Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение вида
то сумма его корней равна коэффициенту p
, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q
. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а
отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.
Расписание квадратного уравнения на множители
Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.
Задачи на квадратное уравнение
Задача 1. Найти корни квадратного уравнения
x^2-26x+120=0 .
Решение:
Запишем коэффициенты и подставим в формулу дискриминанта
Корень из данного значения равен 14
, его легко найти с калькулятором, или запомнить при частом использовании, однако для удобства, в конце статьи я Вам дам список квадратов чисел, которые часто могут встречаться при подобных задачах.
Найденное значение подставляем в формулу корней
и получаем
Задача 2. Решить уравнение
2x 2 +x-3=0.
Решение:
Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминант
По известным формулам находим корни квадратного уравнения
Задача 3. Решить уравнение
9x 2 -12x+4=0.
Решение:
Имеем полное квадратное уравнение. Определяем дискриминант
Получили случай когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле
Задача 4. Решить уравнение
x^2+x-6=0 .
Решение:
В случаях когда есть малые коэффициенты при х
целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения
С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6
. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}
. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны
Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см 2 .
Решение:
Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х
– большую сторону, тогда 18-x
меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х 2 -18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения
Вычисляем корни уравнения
Если х=11
,
то 18-х=7
,
наоборот тоже справедливо (если х=7
, то 21-х=9
).
Задача 6. Разложить квадратное 10x 2 -11x+3=0 уравнения на множители.
Решение:
Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант
Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем
Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями
Раскрыв скобки получим тождество.
Квадратное уравнение с параметром
Пример 1. При каких значениях параметра а , уравнение (а-3)х 2 +(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?
Решение:
Прямой подстановкой значения а=3
видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2
. Выпишем дискриминант
упростим его и приравняем к нулю
Получили квадратное уравнение относительно параметра а
, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7
, а их произведение 12
. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4
будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3
мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет - а=4
.
Таким образом, при а=4
уравнение имеет один корень.
Пример 2. При каких значениях параметра а , уравнение а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?
Решение:
Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0
и а=-3
. При а=0
уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2
и будет один корень. При а= -3
получим тождество 0=0
.
Вычислим дискриминант
и найдем значения а
при котором оно положительно
С первого условия получим а>3
. Для второго находим дискриминант и корни уравнения
Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0
получим 3>0
.
Итак, за пределами промежутка (-3;1/3)
функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0
,
которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи
Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.
Известно, что оно является частным вариантом равенства ах 2 +вх+с = о, где а, в и с - вещественные коэффициенты при неизвестном х, и где а ≠ о, а в и с будут нулями - одновременно или порознь. Например, с = о, в ≠ о или наоборот. Мы почти вспомнили определение квадратного уравнения.
Трехчлен второй степени равен нулю. Первый его коэффициент а ≠ о, в и с могут принимать любые значения. Значение переменной х тогда будет когда при подстановке обратит его в верное числовое равенство. Остановимся на вещественных корнях, хотя решениями уравнения могут быть и Полным принято называть уравнение, в котором ни один из коэффициентов не равен о, а ≠ о, в ≠ о, с ≠ о.
Решим пример. 2х 2 -9х-5 = о, находим
D = 81+40 = 121,
D положительный, значит корни имеются, х 1 = (9+√121):4 = 5, а второй х 2 = (9-√121):4 = -о,5. Проверка поможет убедиться, что они верные.
Вот поэтапное решение квадратного уравнения
Через дискриминант можно решить любое уравнение, в левой части которого известный квадратный трехчлен при а ≠ о. В нашем примере. 2х 2 -9х-5 = 0 (ах 2 +вх+с = о)
Рассмотрим, какие бывают неполные уравнения второй степени
- ах 2 +вх = o. Свободный член, коэффициент с при х 0 , здесь равен нулю, в ≠ o.
Как решать неполное квадратное уравнение такого вида? Выносим х за скобки. Вспоминаем, когда произведение двух множителей равно нулю.
x(ax+b) = o, это может быть, когда х = о или когда ax+b = o.
Решив 2-е имеем x = -в/а.
В результате имеем корни х 1 = 0, по вычислениям x 2 = -b/a . - Теперь коэффициент при х равен о, а с не равен (≠) о.
x 2 +с = о. Перенесем с в правую часть равенства, получим x 2 = -с. Это уравнение только тогда имеет вещественные корни, когда -с положительное число (с ‹ о),
х 1 тогда равен √(-с), соответственно х 2 ― -√(-с). В противном случае уравнение совсем не имеет корней. - Последний вариант: b = c= o, то есть ах 2 = о. Естественно, такое простенькое уравнение имеет один корень, x = о.
Частные случаи
Как решать неполное квадратное уравнение рассмотрели, а теперь возмем любые виды.
- В полном квадратном уравнении второй коэффициент при х ― четное число.
Пусть k = o,5b. Имеем формулы для вычисления дискриминанта и корней.
D/4 = k 2 - ас, корни вычисляются так х 1,2 = (-k±√(D/4))/а при D › o.
x = -k/a при D = o.
Нет корней при D ‹ o. - Бывают приведенные квадратные уравнения, когда коэффициент при х в квадрате равен 1, их принято записывать x 2 +рх+ q = o. На них распространяются все вышеприведенные формулы, вычисления же несколько проще.
Пример, х 2 -4х-9 = 0. Вычисляем D: 2 2 +9, D = 13.
х 1 = 2+√13, х 2 = 2-√13. - Кроме того, к приведенным легко применяется В ней говорится, что сумма корней уравнения равна -p, второму коэффициенту с минусом (имеется ввиду противоположный знак), а произведение этих же корней будет равно q, свободному члену. Проверьте, как легко можно было бы устно определить корни этого уравнения. Для неприведенных (при всех коэффициентах, не равных нулю) эта теорема применима так: сумма x 1 +x 2 равна -в/а, произведение х 1 ·х 2 равно с/a.
Сумма свободного члена с и первого коэффициента а равна коэффициенту b. В этой ситуации уравнение имеет не менее чем один корень (легко доказывается), первый обязательно равен -1, а второй -с/а, если он существует. Как решать неполное квадратное уравнение, можно проверить самостоятельно. Проще простого. Коэффициенты могут находиться в некоторых соотношениях между собой
- x 2 +x = o, 7х 2 -7 = o.
- Сумма всех коэффициентов равна о.
Корни у такого уравнения - 1 и с/а. Пример, 2х 2 -15х+13 = o.
x 1 = 1, х 2 = 13/2.
Существует ряд других способов решения разных уравнениий второй степени. Вот, например, метод выделения из данного полинома полного квадрата. Графических способов несколько. Когда часто имеешь дело с такими примерами, научишься «щелкать» их, как семечки, ведь все способы приходят на ум автоматически.
Более простым способом. Для этого вынесите z за скобки. Вы получите : z(аz + b) = 0. Множители можно расписать: z=0 и аz + b = 0, так как оба могут давать в результате ноль. В записи аz + b = 0 перенесем второй вправо с другим знаком. Отсюда получаем z1 = 0 и z2 = -b/а. Это и есть корни исходного .
Если же имеется неполное уравнение вида аz² + с = 0, в данном случае находятся простым переносом свободного члена в правую часть уравнения. Также поменяйте при этом его знак. Получится запись аz² = -с. Выразите z² = -с/а. Возьмите корень и запишите два решения - положительное и отрицательное значение корня квадратного.
Обратите внимание
При наличии в уравнении дробных коэффициентов помножьте все уравнение на соответствующий множитель так, чтобы избавиться от дробей.
Знание о том, как решать квадратные уравнения, необходимо и школьникам, и студентам, иногда это может помочь и взрослому человеку в обычной жизни. Существует несколько определенных методов решений.
Решение квадратных уравнений
Квадратным уравнение вида a*x^2+b*x+c=0. Коэффициент х является искомой переменной, a, b, c - числовые коэффициенты. Помните, что знак «+» может меняться на знак «-».Для того чтобы решить данное уравнение, необходимо воспользоваться теоремой Виета или найти дискриминант. Самым распространенным способом является нахождение дискриминанта, так как при некоторых значениях a, b, c воспользоваться теоремой Виета не представляется возможным.
Чтобы найти дискриминант (D), необходимо записать формулу D=b^2 - 4*a*c. Значение D может быть больше, меньше или равно нулю. Если D больше или меньше нуля, то корня будет два, если D=0, то остается всего один корень, более точно можно сказать, что D в этом случае имеет два равнозначных корня. Подставьте известные коэффициенты a, b, c в формулу и вычислите значение.
После того как вы нашли дискриминант, для нахождения х воспользуйтесь формулами: x(1) = (- b+sqrt{D})/2*a; x(2) = (- b-sqrt{D})/2*a, где sqrt - это функция, означающая извлечение квадратного корня из данного числа. Посчитав эти выражения, вы найдете два корня вашего уравнения, после чего уравнение считается решенным.
Если D меньше нуля, то он все равно имеет корни. В школе данный раздел практически не изучается. Студенты вузов должны знать о том, что появляется отрицательное число под корнем. От него избавляются выделяя мнимую часть, то есть -1 под корнем всегда равно мнимому элементу «i», который умножается на корень с таким же положительным числом. К примеру, если D=sqrt{-20}, после преобразования получается D=sqrt{20}*i. После этого преобразования, решение уравнения сводится к такому же нахождению корней, как было описано выше.
Теорема Виета заключается в подборе значений x(1) и x(2). Используется два тождественных уравнения: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Причем очень важным моментом является знак перед коэффициентом b, помните, что этот знак противоположен тому, который стоит в уравнении. С первого взгляда кажется, что посчитать x(1) и x(2) очень просто, но при решении вы столкнетесь с тем, что числа придется именно подбирать.
Элементы решения квадратных уравнений
По правилам математики некоторые можно разложить на множители: (a+x(1))*(b-x(2))=0, если вам посредством формул математики удалось преобразовать подобным образом данное квадратное уравнение, то смело записывайте ответ. x(1) и x(2) будут равны рядом стоящим коэффициентам в скобках, но с противоположным знаком.Также не стоит забывать про неполные квадратные уравнения. У вас может отсутствовать какое-то из слагаемых, если это так, то все его коэффициенты просто равны нулю. Если перед x^2 или x ничего не стоит, то коэффициенты а и b равны 1.
Видеоурок 2: Решение квадратных уравнений
Лекция: Квадратные уравнения
Уравнение
Уравнение - это некое равенство, в выражениях которого имеется переменная.
Решить уравнение - значит найти такое число вместо переменной, которое будет приводить его в верное равенство.
Уравнение может иметь одно решение или несколько, или же не иметь его вообще.
Для решения любого уравнения его следует максимально упростить до вида:
Линейное: a*x = b;
Квадратное: a*x 2 + b*x + c = 0.
То есть любые уравнение перед решением нужно преобразовать до стандартного вида.
Любое уравнение можно решить двумя способами: аналитическим и графическим.
На графике решением уравнения считаются точки, в которых график пересекает ось ОХ.
Квадратные уравнения
Уравнение можно назвать квадратным, если при упрощении оно приобретает вид:
a*x 2 + b*x + c = 0.
При этом a, b, c являются коэффициентами уравнения, отличающиеся от нуля. А "х" - корень уравнения. Считается, что квадратное уравнение имеет два корня или могут не иметь решения вообще. Полученные корни могут быть одинаковыми.
"а" - коэффициент, который стоит перед корнем в квадрате.
"b" - стоит перед неизвестной в первой степени.
"с" - свободный член уравнения.
Если, например, мы имеем уравнение вида:
2х 2 -5х+3=0
В нем "2" - это коэффициент при старшем члене уравнения, "-5" - второй коэффициент, а "3" - свободный член.
Решение квадратного уравнения
Существует огромное множество способов решения квадратного уравнения. Однако, в школьном курсе математики изучается решение по теореме Виета, а также с помощью дискриминанта.
Решение по дискриминанту:
При решении с помощью данного метода необходимо вычислить дискриминант по формуле:
Если при вычислениях Вы получили, что дискриминант меньше нуля, это значит, что данное уравнение не имеет решений.
Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет два одинаковых решения. В таком случае многочлен можно свернуть по формуле сокращенного умножения в квадрат суммы или разности. После чего решить его, как линейное уравнение. Или воспользоваться формулой:
Если же дискриминант больше нуля, то необходимо воспользоваться следующим методом:
Теорема Виета
Если уравнение приведенное, то есть коэффициент при старшем члене равен единице, то можно воспользоваться теоремой Виета .
Итак, предположим, что уравнение имеет вид:
Корни уравнения находятся следующим образом:
Неполное квадратное уравнение
Существует несколько вариантов получения неполного квадратного уравнения, вид которых зависит от наличия коэффициентов.
1. Если второй и третий коэффициент равен нулю (b = 0, с = 0) , то квадратное уравнение будет иметь вид:
Данное уравнение будет иметь единственное решение. Равенство будет верным только в том случае, когда в качестве решения уравнения будет ноль.
Квадратным уравнением называют уравнение вида a*x^2 +b*x+c=0, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x - переменная. Причем число а не равно 0.
Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а - называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом. В некоторой литературе встречаются и другие названия. Число а называется первым коэффициентом, а число b - вторым коэффициентом.
Классификация квадратных уравнений
Квадратные уравнения имеют свою классификацию.
По наличию коэффициентов:
1. Полные
2. Неполные
По значению коффициента старшей степени неизвестного (значинию старшего коэффициента):
1. Приведенные
2. Неприведенные
Квадратное уравнение называется полным если в нем присутствуют все три коэффициента и они отличны от нуля. Общий вид полного квадратного уравнения: a*x^2 +b*x+c=0;
Квадратное уравнение называется неполным если в уравнении a*x^2 +b*x+c=0 один из коэффициентов b или c равен нулю (b=0 или с=0), впрочем неполным квадратным уравнением будет являться и уравнение у которого и коэффициент b и коэффициент с одновременно равны нулю (и b=0, и c=0).
Стоит обратить внимание, что о старшем коэффициенте тут ничего не говориться, так как он по определению квадратного уравнения должен быть отличен от нуля.
приведенным если его старший коэффициент равен единице (a=1). Общий вид приведенного квадратного уравнения: x^2 +d*x+e=0.
Квадратное уравнение называется неприведенным, если старший коэффициент в уравнении отличен от нуля. Общий вид неприведенного квадратного уравнения: a*x^2 +b*x+c=0.
Следует заметить, что любое неприведенное квадратное уравнение можно привести к приведенному. Для этого необходимо разделить коэффициенты квадратного уравнения на старший коэффициент.
Примеры квадратного уравнения
Рассмотрим пример: имеем уравнение 2*x^2 - 6*x+7 =0;
Преобразуем его в приведенное уравнение. Старший коэффициент равен 2. Поделим на него коэффициенты нашего уравнения и запишем ответ.
x^2 - 3*x+3,5 =0;
Как вы заметили, в правой части квадратного уравнения стоит многочлен второй степени a*x^2 +b*x+c. Его еще называют квадратным трехчленом.