Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Числовая окружность в координатной плоскости
Повторим: Единичная окружность – числовая окружность, радиус которой равен 1. R=1 C=2 π + - у х
Если точка М числовой окружности соответст-вует числу t, то она соответствует и числу вида t+2 π k , где k – любое целое число (k ϵ Z) . M(t) = M(t+2 π k), где k ϵ Z
Основные макеты Первый макет 0 π у х Второй макет у х
х у 1 А(1, 0) B (0 , 1) C (- 1, 0) D (0 , -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y
Найдем координаты точки М, соответствующей точке. 1) 2) х у М P 45° O A
Координаты основных точек первого макета 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D у х
М P х у O A Найдем координаты точки М, соответствующей точке. 1) 2) 30°
М P Найдем координаты точки М, соответствующей точке. 1) 2) 30° х у O A В
Используя свойство симметрии, найдем координаты точек, кратных у х
Координаты основных точек второго макета x y x y у х
Пример Найти координаты точки числовой окружности. Решение: P у х
Пример Найти на числовой окружности точки с ординатой Решение: у х x y x y
Упражнения: Найти координаты точек числовой окружности: а) , б) . Найти на числовой окружности точки с абсциссой.
Координаты основных точек 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Координаты основных точек первого макета x y x y Координаты основных точек второго макета
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Дидактический материал по алгебре и началам анализа в 10 классе (профильный уровень) "Числовая окружность на координатной плоскости"
Вариант 1.1.Найти на числовой окружности точку:А) -2∏/3Б) 72.Како й четверти числовой окружности принадлежит точка 16.3.Найти ко...
В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (в том числе, с пи) разбирается в .
Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют , расставленным по следующим правилам:
1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
2) Против часовой стрелки - положительное направление; по часовой – отрицательное;
3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(t\);
4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(–t\).
Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.
Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.
Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен \(1\). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках \(1\) и \(-1\).
Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).
Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы \(l=2πR\) мы получим:
Длина числовой окружности равна \(2π\) или примерно \(6,28\).
А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» - точка, которая соответствует этому числу.
Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности - каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?
Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте \(1\) на оси \(x\) и \(0\) на окружности – это точки на разных объектах.
Какие точки соответствуют числам \(1\), \(2\) и т.д?
Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен \(1\)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.
Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.
Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу \(2\), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы \(3\) – расстояние равное трем радиусам и т.д.
При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.
2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.
К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: \(2π\). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли
Занятие 9. Числовая окружность. Синус и косинус. Тангенс и котангенс.
Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.
Числовая окружность - это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.
Общий вид числовой окружности.
1) Ее радиус принимается за единицу измерения.
2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти. Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.
3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А - это крайняя правая точка. Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B - это крайняя верхняя точка.
первая четверть - это дуга AB
вторая четверть - дуга BC
третья четверть - дуга CD
четвертая четверть - дуга DA
4) Начальная точка числовой окружности - точка А.
Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением . Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением .
Числовая окружность на координатной плоскости.
Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0). Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальный - оси y . Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).
Значения x и y в четвертях числовой окружности:
Значение любой точки числовой окружности:
Любая точка числовой окружности с координатами (x; y ) не может быть меньше -1, но не может быть больше 1:  ; 
Основные величины числовой окружности:
Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:
Как запомнить имена числовой окружности.
Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности. Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2П ) против часовой стрелки.
1) Начнем с крайних точек на осях координат. Начальная точка - это 2П (крайняя правая точка на оси х , равная 1). Как вы знаете, 2П - это длина окружности. Значит, половина окружности - это 1П или П . Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х, равная -1, называется П . Крайняя верхняя точка на оси у, равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность - это П , то половина полуокружности - это П /2. Одновременно П /2 - это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей - и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у , равной -1. Но если она включает три четверти - значит имя ей 3П /2.
2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый числитель - причем это противоположные точки и относительно оси у , и относительно центра осей, и относительно оси х . Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки. Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: П /6, П /4 и П /3. И тогда мы "увидим" некоторые закономерности:
Определение
. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют
косинусом числа t и обозначают соs t
, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t
.
Если М(t) = М(х;у), то х = cost, у = sint.
Определение
. Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t.
Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t.
Таблица знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям числовой окружности:
Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.
Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.
Общий вид числовой окружности.
1) Ее радиус принимается за единицу измерения.
2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти (см.рисунок). Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.
3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А – это крайняя правая
точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B – это крайняя верхняя точка.
Соответственно:
первая четверть – это дуга AB
вторая четверть – дуга BC
третья четверть – дуга CD
четвертая четверть – дуга DA
4) Начальная точка числовой окружности – точка А.
Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
Отсчет от точки А против
часовой стрелки называется положительным направлением
.
Отсчет от точки А по
часовой стрелке называется отрицательным направлением
.
Числовая окружность на координатной плоскости.
Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).
Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальный – оси y .
Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).
Значения x и y в четвертях числовой окружности:
Основные величины числовой окружности:
Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:
Как запомнить имена числовой окружности.
Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности.
Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.
1) Начнем с крайних точек на осях координат.
Начальная точка – это 2π (крайняя правая точка на оси х , равная 1).
Как вы знаете, 2π – это длина окружности. Значит, половина окружности – это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х , равная -1, называется π.
Крайняя верхняя точка на оси у , равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность – это π, то половина полуокружности – это π/2.
Одновременно π/2 – это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей – и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у , равной -1. Но если она включает три четверти – значит имя ей 3π/2.
2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый числитель – причем это противоположные точки и относительно оси у , и относительно центра осей, и относительно оси х . Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.
Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:
- Относительно оси у
в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у
тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) – то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.
- Относительно центра осей координат
все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше – то есть это 7π/6.
Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.
- Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше – эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа – то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 – то есть 11π/6.
Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х
точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 – то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число – то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 – и это точка 5π/3.
3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти – это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти – это 3π. Числитель середины третьей четверти – это 5π. Числитель середины четвертой четверти – это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей – четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.
Как вы знаете, на числовой прямой каждая точка соответствует единственному числу. К примеру, если точка А на прямой равна 3, то она уже не может равняться никакому другому числу.
На числовой окружности все иначе, поскольку это окружность. К примеру, чтобы из точки А окружности прийти к точке M, можно сделать это, как на прямой (только пройдя дугу), а можно и обогнуть целый круг, а потом уже прийти к точке M. Вывод:
Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.
То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M. Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой k
, то получим новое выражение:
t = t + 2πk
.
Отсюда формула:
Уравнение числовой окружности
(второе уравнение – в разделе «Синус, косинус, тангенс, котангенс»):
x 2 + y 2 = 1 |
Определение 1 . Числовой осью (числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление
O → x
указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины .
Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .
Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .
Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).
Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат , не оговаривая этого особо.
Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату , которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA 1 и AA 2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).
Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A 1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A 2 на числовой оси Oy .
Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y ) или A = (x ; y ).
Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .
Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).
Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти (квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.
Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .
Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.
Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости
A 1 (x 1 ; y 1) и A 2 (x 2 ; y 2)
вычисляется по формуле
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.
| A
1 A
2 | 2 = = ( x 2 - x 1) 2 + ( y 2 - y 1) 2 . | (1) |
Следовательно,
что и требовалось доказать.
Уравнение окружности на координатной плоскости
Рассмотрим на координатной плоскости Oxy (рис. 7) окружность радиуса R с центром в точке A 0 (x 0 ; y 0) .