- повторить и обобщить изученные теоремы;
- рассмотреть их применение при решении ряда задач;
- подготовка учащихся к вступительным экзаменам в ВУЗы;
- воспитывать эстетическое выполнение чертежей к задачам.
Оборудование: мультимедийный проектор. Приложение 1 .
Ход урока:
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания:
- доказательство теорем – 2 учащихся + 2 уч-ся – консультанты (проверяющие);
- решение домашних задач – 3 учащихся;
- работа с классом – устное решение задач:
Точка С 1 делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 2: 1. точка В 1 лежит на продолжении стороны АС за точку С, и АС = СВ 1 . В каком отношении делит прямая В 1 С 1 сторону ВС? (на слайде 2).
Решение: По условиюИспользуя теорему Менелая, находим: .
В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К.
В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А? (на слайде 3).
Решение:
Пусть ВD = DС = а, АО = ОD = m. Прямая ВК
пересекает две стороны и продолжение третьей
стороны треугольника АDС. По теореме Менелая 
.
В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NС = 3ВN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая МN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение . (на слайде 4).
Решение: По условию задачи МА = АС, NС = 3 ВN. Пусть МА = АС = b, BN = k, NC = 3k. Прямая МN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая
На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне РR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QR в отношении m: n, считая от точки Q. Найдите PN: PR. (на слайде 5).
Решение: По условию NQ = LR, . Пусть NA = LR = a, QF =km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая
3. Отработка практических навыков.
1. Решение задач:
Докажите теорему: Медианы треугольника пересекаются в одной точке; точка пересечения делит каждую из них в отношении 2: 1, считая от вершины. (рисунок 1 слайд 6).
Доказательство: Пусть АМ 1 , ВМ 2 , СМ 3
– медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что
эти отрезки пересекаются в одной точке,
достаточно показать, что 
Тогда по теореме Чевы
(обратной) отрезки АМ 1 , ВМ 2 и СМ 3
пересекаются в одной точке. Имеем:
Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М 3 С пересекает две стороны треугольника АВМ 2 и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая
или 
.
Рассматривая теорему Менелая для треугольников АМ 1 С и АМ 2 С, мы получаем, что
.
Теорема доказана.
Докажите теорему: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (рисунок 2 слайд 6).
Доказательство: Достаточно показать, что 
. Тогда
по теореме Чевы (обратной) AL 1, BL 2, CL 3
пересекаются в одной точке. По свойству
биссектрис треугольника:
.
Перемножая почленно полученные равенства,
получаем: 
. Итак, для биссектрис треугольника
равенство Чевы выполняется, следовательно, они
пересекаются в одной точке. Теорема доказана.
Задача 7
Докажите теорему: Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке. (рисунок 3 слайд 6).
Доказательство: Пусть АН 1 , АН 2, АН 3 – высоты треугольника АВС со сторонами a, b, c. Из прямоугольных треугольников АВН 2 и ВСН 2 по теореме Пифагора выразим, соответственно, квадрат общего катета ВН 2 , обозначив АН 2 = х, СН 2 = b – х.
(ВН 2) 2 = с 2 – х 2 и (ВН 2) 2 = а 2 – (b – х) 2 . приравнивая правые части полученных равенств, получаем с 2 – х 2 = а 2 – (b – х) 2 , откуда х = .
Тогда b –x = b - = .
Итак, АН 2 = , СН 2 = .
Аналогично рассуждая для прямоугольных треугольников АСН 2 и ВСН 3 , ВАН 1 и САН 1 , получим АН 3 = , ВН 3 = и ВН 1 = ,
Для доказательства теоремы достаточно
показать, что 
. Тогда по теореме Чевы (обратной)
отрезки АН 1 , ВН 2 и СН 3
пересекаются в одной точке. Подставив в левую
часть равенства выражения длин отрезков АН 3 ,
ВН 3 , ВН 1 , СН 1 , СН 2 и АН 2
через а, b, с, убеждаемся, что равенство Чевы для
высот треугольника выполняется. Теорема
доказана.
Задачи 5 – 7 самостоятельное решение 3 учащихся. (чертежи на экране).
2. остальные:
Докажите теорему: Если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон пересекаются в одной точке. (на рисунке 4 слайд 6).
Доказательство: Пусть А 1 , В 1 и С 1 – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того, чтобы доказать, что отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:
.
Используя свойство касательных, проведенных из
одной точки, введем обозначения: ВС 1 = ВА 1
= х, СА 1 = СВ 1 = у, АВ 1 = АС 1 = z.
.
Равенство Чевы выполняется, значит, указанные
отрезки (биссектрисы треугольника) пересекаются
в одной точке. Эту точку называют точкой Жергона.
Теорема доказана.
3. Разбор задач 5, 6, 7.
Задача 9
Пусть АD – медиана треугольника АВС. На стороне АD взята точка К так, что АК: КD = 3: 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников. (на слайде 7 рисунок 1)
Решение: Пусть АD = DC = a, KD = m, тогда АК = 3m. Пусть
Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС.
Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР
и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины
В, то
= . По
теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ
имеем: 
. Итак, = .
Задача 10
В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А 1 и С 1 – точки касания, принадлежащие соответственносторонамВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА 1 и СС 1 . Точка Р лежит на биссектрисе ВВ 1 . Найдите АР: РА 1 .
(на слайде 7 рисунок 2)
Решение: Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В 1 , так как треугольник АВС – разносторонний. Пусть С 1 В = х, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см рисунок) 8 – х + 5 – х = 4, х = .
Значит, С 1 В = ВА 1 = , А 1 С = 5 - = , АС 1 = 8 - = .
В треугольнике АВА 1 прямая С 1 С
пересекает две его стороны и продолжение третьей
стороны. По теореме Менелая 
.
Ответ: 70: 9.
Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник. (на слайде 7).
Решение: Пусть в треугольнике АВС АВ = 5, ВС = 7,
АС = 6. Угол ВАС лежит против большей стороны в
треугольнике АВС, значит, угол ВАС – больший угол
треугольника. Центр вписанной окружности
треугольника лежит на пересечении биссектрис.
Пусть О – точка пересечения биссектрис.
Необходимо найти АО: ОD. Так как АD – биссектриса
треугольника АВС, то , то есть BD = 5k, DС = 6k. так как BF –
биссектриса треугольника АВС, то , то есть
AF = 5m, FC = 7m. Прямая BF пересекает две стороны и
продолжение третьей стороны треугольника ADC. По
теореме Менелая 
.
4. Самостоятельное решение задач 9, 10, 11. – 3 учащихся.
Задача 12 (для всех оставшихся учащихся класса):
Биссектрисы ВЕи АD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQD = 1, 2АС = 3 АВ, 3ВС = 4 АВ. (рисунок 4 на слайде 7).
Решение: Пусть АВ = а, тогда АС = , ВС = . АD -
биссектриса треугольника АВС, тогда 
, то
есть BD = 2p, DC = 3p. ВЕ – биссектриса треугольника
АВС, тогда 
, АЕ = 3 k, ЕС = 4k. В треугольнике ВЕС прямая
АD пересекает две его стороны и продолжение
третьей стороны. По теореме Менелая 
, , , то есть
EQ = 9m, QB = 14m. Треугольники QBD и EBC имеют общий угол,
значит 
, S ЕВС = 
.
Треугольники АВС и ВЕС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, значит, , тогда S ABC = .
5. Разбор задач 9, 10, 11.
Решение задач – практикум:
А. На сторонах ВС, СА, АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ взяты точки А 1, В 1 , С 1, так что прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – конкурентные.
Докажите, что 
Доказательство:
По теореме Чевы имеем: 
(1).
По теореме синусов:
, откуда СА 1 = СА.,
,
откуда А 1 В = АВ. , 
,
откуда АВ 1 = АВ. , 
, откуда В 1 С = ВС. 
, так
как СА = ВС по условию. Подставив полученные
равенства в равенство (1) получим:
Что и требовалось доказать.
В. На стороне АС треугольника АВС взята такая точка М, что АМ = ?АС, а на продолжении стороны ВС – такая точка N, что BN = СВ. В каком отношении точка Р – точка пересечения отрезков АВ и MN делит каждый из этих отрезков?
По теореме Менелая для треугольника АВС и секущей MN имеем:
.
По условию 
следовательно ,
так как 0,5 . (-2) . х = 1, - 2х = - 2, х = 1.
Для треугольника MNC и секущей АВ по теореме
Менелая имеем: 
по условию 
значит, - , откуда, .
8. Самостоятельное решение задач: 1 вариант:
1. На продолжениях сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС взяты соответственно точки С 1 , А 1 , В 1 так, что АВ = ВС 1 , ВС = СА 1 , СА = АВ 1 . Найдите отношение в котором прямая АВ 1 делит сторону А 1 С 1 треугольника А 1 В 1 С 1 . (3 балла).
2. На медиане СС 1 треугольника АВС взята точка М. Прямые АМ и ВМ пересекают стороны треугольника соответственно в точках А 1 и В 1 . Докажите, что прямые АВ и А 1 В 1 параллельны. (3 балла).
3. Пусть на продолжении сторон АВ, ВС и АС
треугольника АВС взяты соответственно точки С 1 ,
А 1 и В 1. Докажите, что точки А 1 ,
В 1, С 1 лежат на одной прямой тогда и
только тогда, когда выполняется равенство 
. (4
балла).
6. Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника
АВС взяты соответственно точки С 1 , А 1
и В 1 так, что прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1
пересекаются в точке О. Докажите, что выполняется
равенство 
. (5 баллов).
7
. Пусть на ребрах АВ, ВС, СD и АD тетраэдра
АВСD взяты соответственно точки А 1 , В 1 ,
С 1 , D 1. Докажите, что точки А 1 ,
В 1 , С 1 , D 1 лежат в одной плоскости
тогда и только тогда, когда выполняется
равенство 
(5 баллов).
2 вариант:
1. Точки А 1 и В 1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях 2: 1 и 1: 2. Прямые АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь треугольника ОВС. (3 балла).
2. Отрезок МN, соединяющий середины сторон АD и ВС четырехугольника АВСD делится диагоналями на три равные части. Докажите, что АВСD – трапеция, одно из оснований АВ или СD, которое в двое больше другого. (3 балла).
3. Пусть на стороне АВ и продолжении сторон ВС
и АС треугольника АВС взяты соответственно точки
С 1 , А 1 и В 1 . Докажите, что прямые
АА 1 , ВВ 1 , СС 1 пересекаются в
одной точке или параллельны тогда и только тогда,
когда выполняется равенство . (4
балла).
4. Используя теорему Чевы, докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. (4 балла).
5. Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля). (Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон). (5 баллов).
6. Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника
АВС взяты соответственно точки С 1 , А 1 ,
В 1 так, что прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1
пересекаются в точке О. Докажите, что выполняется
равенство 
. (5 баллов).
7. Пусть на ребрах АВ, ВС, СD и АD тетраэдра АВСD взяты соответственно точки А 1 , В 1 , С 1 , D 1. Докажите, что точки А 1 , В 1 , С 1 , D 1 лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда выполняется равенство (5 баллов).
9. Домашнее задание: учебник § 3, № 855, № 861, № 859.
Из школы известно, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в этот треугольник окружности.
Теорема 1. Биссектриса угла А треугольника АВС точкой пересечения биссектрис делится в отношении , считая от стороны, где а, b, с – длины сторон ВС, АС, АВ соответственно.
Доказательство.
Пусть АА
1 и ВВ
1 – биссектрисы углов А
и В
соответственно в треугольнике АВС, L
– их точка пересечения, а, b, с
– длины сторон ВС, АС, АВ
соответственно (рис.62). Тогда по теореме о биссектрисе, применённой к треугольнику АВС
будем иметь
Или b ВА 1 = ас – с ВА 1 , или ВА 1 (b + с ) = ас , значит, ВА 1 = с. По этой же теореме, примененной к треугольнику АВА 1 получим А 1 L : LА = : с , или = .
Теорема 2. Если L АВС круга, то
Ð АLВ = 90° + Ð С .
Доказательство. Учитывая, что сумма углов треугольника равна 180° и что центр L вписанного круга является точкой пересечения биссектрис треугольника, будем иметь (рис. 62):
Ð АLВ = 180° – (Ð АВL + Ð ВАL ) = 180° – (Ð АВС + Ð ВАС ) =
180° – (180° – Ð С ) = 180° – 90° + Ð С = 90° + Ð С .
Теорема 3. Если L – точка на биссектрисе угла С треугольника АВС такая, что Ð АLВ = 90° + Ð С , то L – центр вписанного в треугольник АВС круга.
Доказательство. Докажем, что ни одна из точек L 1 между C и L не может являтся центром вписанного круга (рис. 62а).
Имеем Ð АL
1 С
1 < Ð АLС
1 , так как внешний угол треугольника АL
1 L
больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Так же Ð ВL
1 С
< Ð ВLС
1 .
Поэтому Ð АL 1 В < Ð АLВ = 90° + Ð С . Значит, L 1 не является центром вписанного круга, так как не выполнено условие признака центра вписанного круга (см. теорему 2).
Если же точка L 2 на биссектрисе СС 1 не принадлежит отрезкуу СL , то Ð АL 2 В > Ð АLВ = 90° + Ð С и снова не выполнено условие признака центра вписанного круга. Значит, центром вписанного круга является точка L .
Теорема 4. Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанного круга со стороной, проходящей через эту вершину, равно полупериметру этого треугольника, уменьшенному на противоположную сторону.
Доказательство.
Пусть А
1 , В
1 , С
1 – точки касания вписанного круга со сторонами треугольника АВС
(рис. 63), а, b, с
– длины сторон ВС, АС, АВ
соответственно.
Пусть АС 1 = х , Тогда АВ 1 = х, ВС 1 = с – х = ВА 1 , В 1 С = b – х = СА 1 ,
а = ВС = ВА 1 + СА 1 = (с – х) + (b – х) = с + b – 2 х .
Тогда а + а = а + b + с – 2 х , или 2 а = 2 р – 2 х , или х = р – а .
Теорема 5. В любом треугольнике АВС через точку L пересечения биссектрис двух внешних его углов проходит биссектриса третьего угла, при этом точка L находится на одинаковых расстояниях от прямых, содержащих стороны треугольника.
Доказательство.
Пусть L
– точка пересечения двух внешних углов В
и С
треугольникаа АВС
(рис. 64). Поскольку каждая точка биссектрисы находится на одинаковом расстоянии от сторон угла, то точка L
АВ
и ВС
, так как она принадлежит биссектрисе ВL
. Она же находится на одинаковом расстоянии от прямых ВС
и АС
, так как принадлежит биссектрисе СL
. Поэтому точка L
находится на одинаковом расстоянии прямых АВ, АС
и ВС
. Поскольку точка L
находится на одинаковом расстоянии от прямых АВ
и АС
, то АО
– биссектриса угла ВАС
.
Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других сторон, называют вневписанной в этот треугольник окружностью.
Следствие 1. Центры вневписанных в треугольник окружностей находятся в точках пересечения пар биссектрис его внешних углов.
Теорема 6. Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению стороны этого трегольника и косинуса половины противолежащего угла, умноженному на синусы половин двух остальных углов.
«Виды треугольников» - Виды треугольников. По сравнительной длине сторон различают следующие виды треугольников. По величине углов различают следующие виды. Точки называются вершинами, а отрезки- сторонами.
«Углы треугольника» - Остроугольный треугольник. Может ли в треугольнике быть два прямых угла? Равносторонний треугольник. Равнобедренный треугольник. Прямоугольный треугольник. Тупоугольный треугольник. Может ли в треугольнике быть два тупых угла? В равностороннем треугольнике углы равны 600. В прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны по 450.
«Уроки геометрии в 7 классе» - Решение задач.». Катеты ВС и СА. Работа по готовым чертежам. « Сумма углов треугольника. Новый материал. Прямоугольный треугольник. Задача №1. Решение задач по готовым чертежам. №232(устно), №231. Доказать: угол АВС меньше угла ADC. Устный тест. Урок геометрии в 7 классе. Гипотенуза АВ.
«Прямоугольный треугольник» - Сведения об Евклиде крайне скудны. Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Евклид – автор работ по астрономии, оптике, музыке и др. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним. Евклид – первый математик александрийской школы. Определения. Контрольный тест.
«Равнобедренный треугольник и его свойства» - Назовите основание и боковые стороны данных треугольников. Найти величину угла 1, если величина угла 2 равна 40 град.? А, С – углы при основании равнобедренного треугольника. Треугольники равны? Где в жизни встречаются равнобедренные треугольники? АМ – медиана. ТРЕУГОЛЬНИК, все стороны которого равны, называется РАВНОСТОРОННИМ.
«Геометрия Прямоугольный треугольник» - Египетские числа: Вычислить площадь участка треугольной формы египетского крестьянина. Землемеры. Как египтяне называли прямоугольный треугольник? Египетские строители: Катет и гипотенуза в Египте Пифагорцы: Катет и гипотенуза в геометрии. Вопросы землемеров: - Катет больше гипотенузы. Катет, лежащий напротив угла в 60 градусов равен половине гипотенузы.